Hilberts Hotel

In diesem Artikel geht es um eine Matheaufgabe namens "Hilberts Hotel", die vom deutschen Mathematiker David Hilbert entwickelt wurde. Es geht um ein Hotel (Hilberts Hotel), das eine unendliche Anzahl an Zimmern besitzt und dazu noch voll ist (d. h. In jedem Zimmer wohnt ein Gast). Nun möchtest du auch in das Hotel gehen. Der Portier sagt, dass es möglich wäre, dass du ein Zimmer kriegst. Wie soll er dabei vorgehen, wenn alle Zimmer besetzt sind? Es ist wichtig, daran zu denken, dass es unendlich viele Zimmer gibt und dass du deshalb ein Zimmer kriegen kannst (Bitte lest den Rest des Textes erst, wenn ihr die Lösung habt).

Um nun die Lösung aufzuklären, werden wir unter anderen erstmals eine Skizze gebrauchen. Dabei gilt: ∞ + 1 = ∞. Kommen wir aber zu unserer eigentlichen Szene zurück. Momentan ist das Hotel überfüllt, d. h. darin befinden sich unendlich viele Leute. Also ungefähr so:

Nun können wir unsere "Formel" benutzen ( ∞ + 1 = ∞). Wir wissen nämlich: Die Eins ist die Person, die dazukommt (also ihr), die unendlich, die addiert werden, sind die Gäste des Hotels, und das Resultat ist gleich mit der Zimmeranzahl des Hotels. Dies ist erstmals der Beweis, dass man ein Zimmer kriegen kann. Nur, wie geht man vor?

Die Lösung ist einigermaßen einfach: Wir setzen den ersten Gast ins zweite Zimmer, den zweiten ins dritte, den dritten ins vierte und so weiter bis ins Unendliche. Wenn ich das anderen manchmal erkläre, fragen sie mich: "Aber was wird aus dem letzten Gast?". Die Sache ist eben die: Es gibt gar keinen letzten Gast, weil es ja unendlich viele Gäste gibt!

Hier noch ein Schema, damit ihr alles besser versteht:

Jetzt stellen wir uns aber die Frage: Hört das denn überhaupt irgendwann auf? Ich meine, gibt es überhaupt irgendwo ein Limit, bei dem einfach nicht mehr alle ins Hotel hineinpassen? Die Antwort ist zwar so offensichtlich, dass es nicht mal wert ist, es zu beweisen, doch ich würde trotzdem einfach vorschlagen, es zu tun. Nehmen wir mal an, nun kommt ein Bus beim Hotel an (das jetzt natürlich wieder mal voll ist), in dem sich unendlich viele Leute befinden. All diese Leute wollen nun im Hotel ein Zimmer kriegen (ob der Busfahrer auch im Hotel untergebracht werden will, ist momentan völlig egal; siehe "Formel" oben).

Was machen wir denn nun? Das gleiche Prinzip können wir nun nicht mehr wiederholen, da dies nur ein Zimmer für eine Person freimacht. Wir haben hier aber eine unendliche Anzahl an Gästen, was eine unendliche Anzahl an Zimmern benötigt. Versucht vielleicht erstmals, die Lösung zu dieser Aufgabe zu finden, ehe ihr weiterlest.

Hier nun die Lösung: Man schickt den Kunden von Zimmer eins in Zimmer drei, den von Zimmer zwei in Zimmer fünf usw. Somit werden nun alle Zimmer mit gerader Zahl frei. Wir wissen, dass es eine unendliche Anzahl an geraden Zahlen gibt, also wäre das Problem gelöst. Hier nochmals eine Skizze:

Nun danke ich euch noch für das Lesen des Artikels! Nur noch als kleine Nebeninformation: Eigentlich wollte ich in diesem Artikel auch über die realen Nummern schreiben, doch dann habe ich mich entschieden, diesen Artikel bedenklich zu kürzen und aus den realen Zahlen einen anderen Artikel zu machen (er ist zwar noch nicht erschienen).

Wie schon gesagt, ich danke ihnen fürs Lesen und hoffe, das Thema hat euch interessiert!