Reelle Zahlen und Unendlichkeiten

(Ausschnitt einer Vergrößerung des Fraktals Mandelbrot)

Abstract:

"In diesem Artikel werde ich euch beweisen, dass es etwas gibt, das größer als unendlich ist ", nämlich die reellen Zahlen.

In diesem Artikel werde ich euch beweisen, dass es etwas gibt, das größer als unendlich ist. Ich vermute, ihr glaubt mir nicht. Das konnte ich mir denken. Deshalb werde ich nun damit anfangen, eine Art "Definition" von "Unendlich" zu erstellen. Dazu werde ich nun einfach alle natürlichen Zahlen, eine nach der anderen, "aufzählen", sodass sie unsere "Zahl Unendlich" darstellen können. Ganz nebenbei: Eine natürliche Zahl ist eine ganze Zahl, d. h. keine Kommazahl, die auch keine negative Zahl sein kann. Eine natürliche Zahl wäre somit zum Beispiel die 1.

Um uns aber eine Vorstellung davon zu geben, was ich darstellen möchte, werde ich in diesem Artikel folgendes Zeichen verwenden, das für die Menge der natürlichen Zahlen steht: ℕ. Man könnte also sagen: ℕ = {0, 1, 2, 3,... }. Diese Zahlenmenge hat unendlich viele Elemente. Um das Ganze besser zu verstehen, bitte ich nun den verehrten Leser, sich eine natürliche Zahl auszudenken, die größte, die er sich vorstellen kann. Nun kann ich mit großer Sicherheit sagen, dass man dieser natürlichen Zahl immer wieder etwas hinzufügen kann, zum Beispiel eine Eins, jedoch wird die neue Zahl noch immer der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen angehören.

Auch wenn die Menge der natürlichen Zahlen eine unendliche Menge an Zahlen hat, werde ich dem Leser beweisen können, dass es eine Zahlenmenge gibt, die eine größere Menge an Zahlen besitzt. Mit anderen Worten könnte man also sagen, dass es eine Unendlichkeit gibt, die größer ist als die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen ℕ. Diese Zahlenmenge, von der ich spreche, sind die reellen Zahlen. Diese können dargestellt werden durch ℝ. Was ich also nun behaupte, ist: | ℝ | > | ℕ |. Diese Striche, die wie eine Art Säulen um ℝ und ℕ stehen, zeigen an, dass ebendiese beiden Zahlenmengen die "Menge ihrer Zahlen" repräsentiert. In der Mathematik nennt man das Kardinalität. Zwar werde ich euch ganz unten eine Definition dessen geben, dennoch hier noch einen kleinen "Hinweis", der dem Leser womöglich dazu verhelfen könnte, dieses Konzept jetzt schon ein bisschen zu verstehen:

Sagen wir mal, eine bestimmte Zahlenmenge A ist gleich {0,1, 2, 3, 4}. Dann könnte man auch behaupten | A | = 5. Mit anderen Worten: In diesem Fall wäre die Kardinalität, auch Mächtigkeit genannt, oder einfach M von unserer Menge A gleich mit 5.

Jetzt müssen wir eigentlich nur noch aufklären, was ℝ ist, und diese Zahlenmenge dann mit der Menge natürlicher Zahlen, also ℕ​, vergleichen. Normalerweise verwendet man dafür eine Bijektion, doch wir werden das beiseite lassen (Für Interessierte gibt es unten noch die Definition*).

Als ℝ werde ich eine unendliche Menge an Kommazahlen vorstellen, und zwar ist jede Ziffer vor dem Komma eine Ziffer, die in der normalen Reihenfolge steht, also: { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... }. Dieser Ausschnitt wurde vielleicht ein bisschen komisch und kompliziert erklärt, doch es musste so sein. Für ein besseres Verständnis werde ich euch hier einige solcher Zahlen in richtiger Reihenfolge auflisten, die dann einige in der Zahlenmenge ℝ erhaltene Zahlen sein werden:

ℝ = { 0,275543532145764458543887654323211123212678987600098767655487654876558765435876589877654765446...

1,24321597845658967895379218546395873569146563284978952619437853169374578923876487356098890898653454...

2,65655684564345787452378798674808097776548809877645343577788656754343423321345456768908767543234347...

3,88644854543477667342345987654597609808776544325476987676543787654098769098987437876534567876543456...

4,48784554237645345668765887654321435876987656890098766546547654388765458987654543265456789876543234...

5,89164387864859776543267654378765438865498909877654542145678765432345678987876987654345677654346789...

6,94543454688909765432345678987654345678765456788876566578536743454345676512234554567898767899876434...

... }

Sagen wir mal, wir nehmen die erste geschriebene Zahl (hier werden wir zwar nur ein Bruchstück abbilden), also: 0,275543... und addieren dann bei jeder einzelnen Ziffer eine Eins hinzu. Das wird dann: 1,386654... Wenn wir nun so weitermachen, können wir sichergehen, dass "| ℝ | = | ℕ | = ∞". Dabei gibt es aber natürlich einen Haken, wie ihr es euch denken könnt. Nämlich kann man bei ℝ , also bei der Menge der reellen Zahlen, Folgendes machen:

Ich kann euch versichern, dass diese Zahl bisher ganz und gar nicht in der bisherigen Zahlenmenge enthalten war. Und (nur so ganz nebenbei) wenn dies der Fall wäre, dann würde dies bedeuten, dass die Menge der reellen Zahlen ℝ größer als ℕ ist. Die Erklärung dafür wäre ganz einfach: Unsere gerade neu erschaffene Zahl (siehe einige Zeilen weiter oben) könnte nicht die erste Zahl sein, da ihre erste Zahl eins ist, und die erste Ziffer der ersten Zahl lautet null. Es könnte auch nicht die zweite Zahl sein, da die zweite Ziffer der neu erschaffenen Zahl eine drei ist, ungleich mit der zweiten Ziffer der zweiten Zahl = zwei.

Nun, um ehrlich zu sein, ist diese Abbildung (siehe oben) eigentlich nicht ganz richtig, da sie nicht wirklich die reellen Zahlen repräsentiert. Dies ist, soweit der verehrte Leser erkennen kann, nur eine Art "vereinfachte Version". Die "echte Version" wäre eigentlich so, dass jede der gerade erwähnten Ziffern vor dem Komma zu einer reellen Zahl zwischen null und eins "zugeschrieben" ist. Dies ist, sagen wir mal so, das Konzept der Bijektion, wobei wir es hier eher als eine Art von "Korrespondenz" betrachten und behandeln, da wir uns nicht zu weit hinauswagen wollen, um nochmals durchzugucken, ob dies wirklich eine Bijektion ist. Jedenfalls kann der Leser also hier (siehe unten) die Tabelle finden, von der ich gesprochen hatte, dass sie eher ℝ repräsentiert.

ℕ → Reelle Zahlen zwischen null und eins

0 → 0,27554353214576445854388765432321112321267898760009876765548765487655876543587659273489877654765446...

1 → 0,24321597845658967895379218546395873569146563284978952619437853169374578923876487356098890898653454...

2 → 0,65655684564345787452378798674808097776548809877645343577788656754343423321345456768908767543234347...

3 → 0,88644854543477667342345987654597609808776544325476987676543787654098769098987437876534567876543456...

4 → 0,48784554237645345668765887654321435876987656890098766546547654388765458987654543265456789876543234...

5 → 0,89164387864859776543267654378765438865498909877654542145678765432345678987876987654345677654346789...

6 → 0,94543454688909765432345678987654345678765456788876566578536743454345676512234554567898767899876434...

... →...

Na ja, wie der Leser wahrscheinlich durchblicken kann, ist das Prinzip, dass es genauso es bis in alle Ewigkeit weitergehen könnte, und genauso bräuchte es auch eine Ewigkeit, euch das beweisen zu können. Glücklicherweise gibt es aber eine erstaunlich simple, banale Regel, die uns das Ganze um ein Vielfaches erleichtert: Die neu erschaffene Zahl kann nicht alle anderen restlichen Zahlen sein, da die erste Ziffer immer eine andere sein wird.

Doch damit hört die ganze Geschichte noch lange nicht auf: Man kann ziemlich viele solcher Zahlen erschaffen, gar unendlich viele...

Es gibt dabei aber wenigstens eine einzige, klitzekleine Regel, die man bei diesem Verfahren beachten muss, damit unser mathematisches "Experiment" gelingen kann. Nämlich könnte es eine Möglichkeit geben, bei der unsere erste Dezimalzahl, die wir aufgeschrieben hatten und dann vergrößert hatten, genau mit der zweiten Nummer gleich wäre. Dazu müsste man natürlich eine Regel aufstellen, die besagen würde, dass wenigstens eine einzige Ziffer in der zweiten größer/ kleiner/ unterschiedlich wäre als die umgewandelte Ziffer genau obendrüber in unserer "Tabelle der reellen Zahlen". Damit, glaube ich, machen wir uns das Leben ziemlich kompliziert, und ich schlage vor, dass wir uns stattdessen eine andere Regel vornehmen, bei der wir jedoch bei jeder Zahl jeweils eine Ziffer umändern: In diesem Fall eins dazu addieren.

Dazu werden wir aber ein bisschen anders mit unserer "Tabelle der reellen Zahlen umgehen", sodass der Leser keinen Blick mehr auf die vorherige werfen muss, die nur als Vorlage diente. Stattdessen werden wir jetzt, anstatt dass jede Dezimalzahlen mit einer anderen Zahl vor dem Komma anfangen, immer mit der Gleichen anfangen, in diesem Fall zum Beispiel mit null. Wichtig zu verhalten ist aber, dass diese neu erschaffte Menge an Zahlen noch immer die Zahlenmenge der reelen Zahlen, ℝ, repräsentiert, und dass ihre Kardinalität, oder ihre Mächtigkeit (M - siehe oben), immer gleich bleibt, sodass wir nun, zu des Lesers Erleichterung, mit unserem Verfahren beginnen können.

Dies "mathematische Experiment", das wir jetzt ausführen zu gedenken, wurde von einem Mathematiker namens Georg Cantor erfunden und wird "Diagonalisation" genannt. In Ebendiesem beweist man, dass man in ℝ eine Zahl "erfinden" kann, die nirgends bisher in der Zahlenmenge zu finden war. Das geschieht dadurch, dass man gerade in unserer "neu erfundenen" Tabelle zum Beispiel bei der ersten Zahl die erste Zahl um eins größer macht, bei der zweiten die zweite, usw. Somit wird also jede Zahl, die sich in unserer Diagonale befindet, um eins größer werden. Um jetzt erst mal nicht zu weit zu gehen, werde ich euch diese "neue Tabelle der reellen Zahlen" zuerst hier zeigen:

A = {

0,27554353214576445854388765432321112321267898760009876765548765487655876543587658987765476544667547...

0,24321597845658967895379218546395873569146563284978952619437853169374578923876487356098890898653454...

0,65655684564345787452378798674808097776548809877645343577788656754343423321345456768908767543234347...

0,88644854543477667342345987654597609808776544325476987676543787654098769098987437876534567876543456...

0,48784554237645345668765887654321435876987656890098766546547654388765458987654543265456789876543234...

0,89164387864859776543267654378765438865498909877654542145678765432345678987876987654345677654346789...

0,94543454688909765432345678987654345678765456788876566578536743454345676512234554567898767899876434...

... }

Nun nehmen wir jetzt die Zahl, die sich durch die Diagonale bildet, und verwandeln sie in eine Dezimalzahl, also: 0,2464435... Als Zahl vor dem Komma nehmen wir eine null, weil dies einfach leichter ist und uns mehrere Möglichkeiten offen lässt. Ich möchte nun ein kleines bisschen eine Frage beantworten, die sich der Leser vermutlich schon gestellt hat: Nämlich die, warum unsere neue Tabelle hier mit "A" beschriftet wurde. Eben ist es so, dass diese Tabelle nicht die reelen Zahlen darstellt, sondern eine untergeordente Zahlenmenge von der gleichen Kategorie.

So, jetzt aber zurück zum eigentlichen Thema. Unsere oben dargestellte Zahl wird jetzt umgewandelt in eine größere Zahl, indem man bei jeder Ziffer eine eins addiert. Unsere Zahl lautet dann: 0,3575546...

Nun kann ich euch wieder mal versichern, dass unsere eben gerade neu erfundene Zahl sicher nicht in unserer neuen Tabelle A enthalten ist. Wie ihr es euch vielleicht denken könnt, ist die Erklärung dafür (wie fast immer) ziemlich einfach. Es ist eben so: Unsere neue Zahl kann nicht die erste Zahl sein, da ihre erste Zahl nach dem Komma nicht die gleiche ist. Es kann auch nicht die zweite Zahl sein, da ihre zweite Zahl nach dem Komma nicht die gleiche ist, usw. Ihr versteht aber das Prinzip: Zum Beispiel könnte es auch nicht die hundertneunundfünfzigste Zahl sein, da ihre hundertneunundfünfzigste Ziffer nach dem Komma nicht die gleiche wäre.

Es fehlt uns aber nur noch ein einziger Beweis in der Hand, genau diesen aber können wir durch die Bijektion kriegen, von der ich noch vorher gesprochen hatte (siehe Definition unten). Damit wir uns das Leben nicht allzu kompliziert machen, werden wir das Ganze einfach "Korrespondenz" nennen und die ganze Geschichte auch wie eine behandeln. Das heißt: Wir müssen zu jeder Zahl in ℕ ein Gegenteil in A finden.

ℕ → Reelle Zahlen zwischen null und eins

0 → 0,27554353214576445854388765432321112321267898760009876765548765487655876543587658987765476544667547...

1 → 0,24321597845658967895379218546395873569146563284978952619437853169374578923876487356098890898653454...

2 → 0,65655684564345787452378798674808097776548809877645343577788656754343423321345456768908767543234347...

3 → 0,88644854543477667342345987654597609808776544325476987676543787654098769098987437876534567876543456...

4 → 0,48784554237645345668765887654321435876987656890098766546547654388765458987654543265456789876543234...

5 → 0,89164387864859776543267654378765438865498909877654542145678765432345678987876987654345677654346789...

6 → 0,94543454688909765432345678987654345678765456788876566578536743454345676512234554567898767899876434...

...→...

? → 0,357546...

Nun, da ich dem Leser dieses Schema gezeigt habe, werde ich versuchen, das Ganze ziemlich offen zu erklären: Ohne die "diagonale Zahl" ist | A | = | ℕ |. Diese "diagonale Zahl" ist nämlich eine Zahl, bei der man keinen Gegenteil in ℕ finden kann.

Weiter wollen wir jetzt aber nicht mehr gehen - wenn Sie am Thema interessiert sind oder es mir nicht glauben, versuchen Sie es doch selbst! Jedenfalls hoffe ich, dass dieser Artikel dem werten Leser gefallen hat, und wünsche ihnen noch alles Gute.

Definition Bijektion (Ein kleines Bisschen vereinfacht):

Die Bijektion ist der Sonderfall einer Funktion f : A → B.

Eine Funktion ist immer dann bijektiv, wenn jedes y ∈ B genau ein Urbild hat. Für jedes y ∈ B existiert exakt ein x ∈ B mit f (x) = y, so dass eine Bijektion eindeutig ist. Die Funktion hat daher eine Umkehrfunktion.

Ich weiß nicht, ob die Definition für jeden Leser verständlich ist, deshalb gibt es hier noch eine kurze Erklärung, die ich formuliert habe:

Bei einer Bijektion hat man mehrere Objekte, Punkte o. ä. Diese teilen wir nun in zwei gleiche Gruppen ein. Wenn man jedes dieser Objekte, Punkte... aus einer Gruppe mit einem Gegensatz in der anderen Gruppe verbinden kann, heißt das, dass in jeder Gruppe gleich viele Objekte enthalten sind.

Definition Kardinalität:

Für endliche Mengen ist die Mächtigkeit (oder Kardinalität) gleich der Anzahl der Elemente der Menge; das ist eine natürliche Zahl einschließlich der Null. Der Begriff lässt sich auch auf unendliche Mengen verallgemeinern; es stellt sich heraus, dass zwei unendliche Mengen nicht gleichmächtig sein müssen. Die Mächtigkeit einer Menge wird im Allgemeinen mit , gelegentlich auch mit notiert.